振動傳感器現在能看到這里的人，非物理專業（或者說數學專業）的人已經不多了，所以我即將換一種輕松而又物理的語調來敘述這樣一個優美的微振動理論。

問題的出發點是簡單的，我們如何描述一個在勢能極小值點附近運動的物體？

首先，寫出體系的拉格朗日量：

此外，對體系做一個泰勒展開保留至二階：

當我們考慮一個這樣的運動：，其中，并且

那么，選取為一新的廣義坐標，系統的拉格朗日量就是：

其中

對應的拉格朗日方程是：，由于方程不顯含有自變數，先考慮這是一個周期運動。

“振動傳感器傅里葉變換”后得到：

這個方程有解的的條件（物理要求）是：

由于頻譜上無展寬，而取值為無窮大以保證傅里葉積分的收斂性，從而，其中系數A、B靠初始條件而定。

帶入方程驗證知，這確實是實在的解。采取上面的辦法是為多自由度振動和強迫振動做一個鋪墊，也就是開了車的。

注意到一般是純實的，可以寫作

多自由度，同樣做類似的微振動近似處理，期待的拉格朗日量就是：

其中動能、勢能都是正定的二次型，因此引入

得到，現在問題的思路有兩個：

振動傳感器首先獲得其歐-拉方程：

“傅里葉變換”之后，求出其根，并由于積分的收斂性要求：

線性代數理論告訴我們，對于正定對稱的，可以有如下分解：

首先M可以寫作:，其中是非退化的。

另外，對于對稱正定矩陣相似且合同于一對角陣，即主軸變換，且本征值都是正的：

所以

可以看出，變換之后的拉格朗日量是解耦的，是等效為了一些新坐標的直接疊加，而褪去了耦合。

對應的微分方程是：

是解耦了的。

變換之后的坐標叫做簡正坐標。

矩陣

的譜會存在可能的簡并，這往往對應著體系存在一個對稱操作。

給出一個簡單的習題：

中的題

（侵刪）

小問無疑是簡單易求的，順帶求出各模式的簡并程度，從直覺上給出可能的對稱操作。