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衡水市振動傳感器力學(十二)——微振動(一)_知乎_

來源:江蘇傳生電子科技有限公司   2025年04月04日 07:10  

振動傳感器現(xiàn)在能看到這里的人,非物理專業(yè)(或者說數(shù)學專業(yè))的人已經不多了,所以我即將換一種輕松而又物理的語調來敘述這樣一個優(yōu)美的微振動理論。

一、單自由度、自由振動

問題的出發(fā)點是簡單的,我們如何描述一個在勢能極小值點附近運動的物體?

首先,寫出體系的拉格朗日量:

此外,對體系做一個泰勒展開保留至二階:

當我們考慮一個這樣的運動:,其中,并且

那么,選取為一新的廣義坐標,系統(tǒng)的拉格朗日量就是:

其中

對應的拉格朗日方程是:,由于方程不顯含有自變數(shù),先考慮這是一個周期運動。

“振動傳感器傅里葉變換”后得到:

這個方程有解的的條件(物理要求)是:

由于頻譜上無展寬,而取值為無窮大以保證傅里葉積分的收斂性,從而,其中系數(shù)A、B靠初始條件而定。

帶入方程驗證知,這確實是實在的解。采取上面的辦法是為多自由度振動和強迫振動做一個鋪墊,也就是開了車的。

注意到一般是純實的,可以寫作

二、多自由度、自由振動

多自由度,同樣做類似的微振動近似處理,期待的拉格朗日量就是:

其中動能、勢能都是正定的二次型,因此引入

得到,現(xiàn)在問題的思路有兩個:

思路一:傅里葉變換

振動傳感器首先獲得其歐-拉方程:

“傅里葉變換”之后,求出其根,并由于積分的收斂性要求:

思路二:二次型對角化方法

線性代數(shù)理論告訴我們,對于正定對稱的,可以有如下分解:

首先M可以寫作:,其中是非退化的。

另外,對于對稱正定矩陣相似且合同于一對角陣,即主軸變換,且本征值都是正的:

所以

可以看出,變換之后的拉格朗日量是解耦的,是等效為了一些新坐標的直接疊加,而褪去了耦合。

對應的微分方程是:

是解耦了的。

變換之后的坐標叫做簡正坐標。

三、對稱性致簡并

矩陣

的譜會存在可能的簡并,這往往對應著體系存在一個對稱操作。

給出一個簡單的習題:

中的題

(侵刪)

小問無疑是簡單易求的,順帶求出各模式的簡并程度,從直覺上給出可能的對稱操作。

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